多维随机变量及其分布

1.多维随机变量及其分布

定义：如果$X_1(\omega)$，…，$X_n(\omega)$是定义在同一个样本空间$\Omega={\omega}$上的$n$个随机变量，则称$X(\omega)=(X_1(\omega),…,X_n(\omega))$为$n$维随机变量；

联合分布函数：$F(x_1,…,x_n)=P(X_1\le x_1,…,X_n\le x_n)$

二维联合分布的基本性质：

（1）单调性：$F(x,y)$对$x,y$均是单调非减的

（2）有界性：$0\le F(x,y) \le 1, F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0, F(\infty, \infty) = 1$

（3）右连续性：对每个变量都是右连续的

（4）非负性：$P(a<X\le b, c<Y\le d)\ge 0$

联合分布列：$p{ij}\ge 0$，$\sum_i\sum_jp{ij} = 1$

联合密度函数：$p(x,y)=\frac{\part^2}{\part x\part y}F(x,y)$，$p(x,y)\ge 0$，$\int\int p(x,y)dxdy=1$

多项分布：r项分布实际上是r-1维随机变量的分布

$$P(X_1=x_1,...,X_r=x_r)=\frac{n!}{n_1!...n_r!}p_1^{n_1}...p_r^{n_r}$$

多项超几何分布：

$$P(X_1=n_1,...,X_r=n_r)=\frac{\binom{N_1}{n_1}...\binom{N_r}{n_r}}{\binom{N}{n}}$$

多维均匀分布

$$p(x_1,...x_n)=\frac{1}{S_D}, (x_1,...,x_n)\in\mathcal{D}$$

二维正态分布

$$p(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp{\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}}$$

2.边际分布和随机变量的独立性

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